Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login

Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare
LoginInregistrare

Teme AniDeȘcoală.ro

Teme AniDeȘcoală.ro Logo Teme AniDeȘcoală.ro Logo

Teme AniDeȘcoală.ro Navigation

  • HOME
  • PUNCTE
  • FAQ
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • Home
  • Materii
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • Puncte si ranguri
  • FAQ
  • Contact
Home/ Intrebari/Q 1920
Urmator
Answered
maverick01
20
maverick01user (0)
Pe: 8 iunie 20202020-06-08T21:11:22+03:00 2020-06-08T21:11:22+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Va rog sa ma ajutati cu urmatorul …

Va rog sa ma ajutati cu urmatorul exercitiu! Se considera sirul a_n=\int_{0}^{1} x^{n} \ln(x+1)dx

Sa se demonstreze ca \lim_{n\to\infty} (n+2)[(n+1)a_n-\ln2]=-\frac12

  • 0
  • 2
  • 155
  • 1
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Intrebari similare

  • Bună ziua! Am nevoie de ajutor la ...
  • Buna ziua, ma poate ajuta cineva cu ...
  • Am nevoie de niste explicatii la marginire ...
  • Se consideră punctele Determinati ecuația universală care ...

2 raspunsuri

  1. Best Answer
    Menim Suport
    2020-06-08T21:51:56+03:00Pe 8 iunie 2020

    Integram a_n prin parti:
    a_n=\int_0^1x^n\ln(x+1)dx=\int_0^1 \left ( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right )'\cdot\ln(x+1)dx=\frac1{n+1}\int_0^1(x^{n+1})'\ln(x+1)dx=\frac1{n+1}(x^{n+1}\ln(x+1)|_0^1-\int_0^1x^{n+1}(\ln(x+1))'dx)=\frac1{n+1}(1^{n+1}\ln(1+1)-0^{n+1}\ln(0+1)-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx)=\frac1{n+1}(\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx)

    Inlocuim noua formula a lui a_n in limita:
    \lim_{n\to\infty}(n+2)[(n+1)a_n-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[(n+1)\cdot\frac1{n+1}(\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx)-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx]=-\lim_{n\to\infty}(n+2)\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{(n+2)x^{n+1}}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{(x^{n+2})'}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}((\frac{x^{n+2}}{x+1})|_0^1-\int_0^1x^{n+2}\cdot(\frac1{x+1})'dx)=-\lim_{n\to\infty}(\frac{1^{n+2}}{1+1}-\frac{0^{n+2}}{0+1}-\int_0^1x^{n+2}\cdot(\frac{-1}{(x+1)^2})dx)=-\lim_{n\to\infty}(\frac12+\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx)=-\frac12-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx

    Mai ramane sa calculam limita acelei integrale. Deoarece functia pe care o integram este continua, din teorema de medie stim ca exista c\in\left[0,1 \right ] astfel incat \int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx=(1-0)\frac{c^{n+2}}{(c+1)^2}=\frac{c^{n+2}}{(c+1)^2}.
    \lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx=\lim_{n\to\infty}\frac{c^{n+2}}{(c+1)^2}=0
    Limita este 0 deoarece c-ul se afla intre 0 si 1, deci limita numitorului este 0, iar numaratorul este doar 0 constanta. Daca nu cunosti teorema de medie pe care am folosit-o mai sus, pot cauta o solutie alternativa.

    Continuand limita de mai sus, avem  -\frac12-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx=-\frac12-0=-\frac12.

    • 1
    • Raspunde
    • maverick01 user (0)
      2020-06-08T22:07:16+03:00Pe 8 iunie 2020

      Multumesc mult!

      • 0
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Sidebar

PUNE O INTREBARE

PROVOCARI

  • Literele trebuiesc folosite doar o singură dată ...

  • Chiar dacă mă credeți sau nu, printre ...

  • Poți găsi diferențele?

  • Întrebarea aceasta are o.... problemă

  • Un număr controversat

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

ANIDESCOALA.ro

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori.
Participa si tu la dezvoltarea comunitatii: transmite sugestii, povesti, exercitii etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  •  Termeni si conditii
  •  Modifica cookies
  • Contact

Statistici

  • Intrebari : 1.115
  • Raspunsuri : 1.588
  • Best Answers : 333

Proiecte

  • AniDeScoala.ro
  • Dictionar explicativ
  • Dictionar de sinonime
  • Dictionar de antonime
  • Gramatica limbii romane

Informatii trafic

trafic

Inserare/editare legătură

Introdu URL-ul destinației

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.