Nu conteaza ordinea tema mate
Teme AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
8.
-x=5(x^2-2(x-1)))
)
Solutiile acestei ecuatii sunt 2 si 7(folosind relatiile lui Viete si faptul ca 2+7=9 si 2*7=14).
9.Calculam mai intai determinantul din partea stanga, dezolvatand dupa prima coloana, deoarece aceasta contine deja un 0:
(-6+1)+5(-4+6)=5+10=15)
Putem imparti linia a 2-a din determinant cu 3 pentru a simplifica calculele:
Solutiile ecuatiei sunt 1 si -2, folosind din nou relatiile lui Viete.
10.Folosim faptul ca=\lg2+\lg&space;x)
:
^2&1&space;\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\\lg&space;x&\lg&space;2+\lg&space;x&1\\\lg^2&space;x&\lg^22+\lg^2&space;x+2\lg2\lg&space;x&1&space;\end{vmatrix})
+\lg&space;x\cdot(\lg^22+2\lg2\lg&space;x)-\lg2\lg^2&space;x)
, ecuatia devenind:
:
+(1-\lg2)=0)
. Revenim la necunoscuta x. Obtinem:
, deci x=10
, deci 
Scadem coloana 1 din coloana 2, apoi dezvoltam dupa prima linie, obtinand:
Notam
Impartim prin
Din relatiile lui Viete observam ca solutiile sunt 1 si
1.
2.
11.
Deoarece a 2-a linie contine doar 0-uri, determinantul cerut este egal cu 0.
12.+\det(B)=a^2+a^2=2a^2)
13.Avem 2 variante de rezolvare. Sa gasim solutiile ecuatiei de gradul 3(se poate observa ca -1/2 este una dintre ele. Continuand se gasesc celelalte 2 solutii ca fiind radacinile complexe ale x^3=1). Aceasta varianta are dezavantajul ca nu stim ordinea in care trb luate x1, x2 si x3 si ar trb sa argumentam ca ordinea nu conteaza. De asemenea, a rezolva acea ecuatie de gradul 3 nu e neaparat super simplu.
A 2-a varianta este sa calculam determinantul si sa folosim proprietati precum Viete pentru a obtine valoarea cautata. Putem incerca sa facem transformari in determinant(spre exemplu, sa adunam toate coloanele peste prima deoarece atunci am obtine 2 termeni egali din care putem forma un 0). Voi alege totusi sa calculez direct determinantul dezvoltand dupa prima linie:
-x_2^2(x_2^2-x_1x_3)+x_3^2(x_2x_1-x_3^2)=x_1^2x_2x_3-x_1^4-x_2^4+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2-x_3^4=x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)-x_1^4-x_2^4-x_3^4)
, rezulta ca cele 3 solutii respecta aceasta ecuatie. Deoarece niciuna dintre solutii nu este egala cu 0, putem inmulti ecuatia de mai sus cu x, obtinand 
, deci 
. Mai departe, inlocuim 
cu 
(din ecuatia originala), obtinand in final ca
-\frac32x^2-\frac12x=\frac94x^2+\frac94x+\frac34-\frac32x^2-\frac12x=\frac34x^2+\frac74x+\frac34)
.
Ne ocupam de suma solutiilor ridicate la a 4-a. Deoarece sunt solutii ale ecuatiei
Inlocuim in determinant, folosind relatiile lui Viete pentru primul termen:
-(\frac34x_2^2+\frac74x_2+\frac34)-(\frac34x_3^2+\frac74x_3+\frac34)=\frac34-\frac34(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-\frac74(x_1+x_2+x_3)-\frac94=-\frac64-\frac34(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-\frac74(-\frac32)=-\frac64-\frac34(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+\frac{21}8=-\frac{12}8+\frac{21}{8}-\frac34(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=\frac98-\frac34(x_1^2+x_2^2+x_3^2))
^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3))
^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\cdot\frac32)
Calculam ultimul termen astfel:
Din relatiile lui Viete:
Observam ca suma patratelor solutiilor ecuatiei este negativa. Acest lucru se intampla deoarece 2 dintre solutiile ecuatiei sunt numere complexe(se poate observa ca -1/2 este solutia reala, si calculand, celelalte 2 solutii sunt radacinile pur complexe de ordinul 3 ale unitatii). Inlocuim valoarea obtinuta mai sus in determinant:
14.-(-2x-1)-2(4-x)=x^3+2x+2x+1-8+2x=x^3+6x-7)
are proprietatea ca 
. Utilizand relatiile lui Viete, rezulta ca =21-6\cdot0=21)
Orice solutie a ecuatiei
15.(\sqrt2+1)+(-\sqrt3+1)(-\sqrt3-1)+\sin^2x+\cos^2x+2!\cdot4!-3!\cdot3!=2-1+3-1+1+2\cdot24-6\cdot6=4+48-36=4+12=16)
16.+3\cdot10=-30+30=0)
17.Dezvoltam dupa ultima linie:
+3(1\cdot&space;4+1\cdot&space;3)=5\cdot&space;8+3\cdot&space;7=40+21=61)
18.)=\begin{vmatrix}2&3\\-3&-1\end{vmatrix}=-2+9=7)
19.=ad-bc=-8+9=1)
20.=\det(A)^{10}=(3-3)^{10}=0^{10}=0)
21.Scadem linia 1 din liniile 2 si 3:
=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&4&16\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1&3&3&15\end{vmatrix}=1\cdot(15-9)=6)
Observatie:Acest determinant este un determinant Vandermonde, adica fiecare coloana este o progresie geometrica.
22.Efectuam aceeasi transofrmare ca la exercitiul anterior:=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&m&m^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1&3&m-1&m^2-1\end{vmatrix}=m^2-1-3(m-1)=m^2-1-3m+3=m^2-3m+2)
sunt 1 si 2.
Solutiile ecuatiei sunt