Inegalitate folosind teorema lui Lagrange
ln(x)/(x+1)<ln^2(x+1)-ln^2(x)<ln(x+1)/x
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Ce se cere?
Se poate?
Trebuie demonstrat folosind teorema lui Lagrange
Pt x=e(si cred ca si x>e), a 2-a parte a inegalitatii nu este adevarata. Probabil pot obtine un interval pe care sa fie adevarata, daca asta doresti.
Am verificat daca este cum zici
dar egalitatea este adevărată și pentru x>=e.
dav
Acesta este ex complet din culegere.
Enuntului initial ii lipsea un 2. Aceasta este inegalitatea de demonstrat:
-\ln^2x}2<\frac{\ln(x+1)}x)
Consideram functia
. Functia este continua si derivabila pe intervalul
, avand derivata:
. Din Teorema lui Lagrange, exista cel putin un c din intervalul
cu proprietatea ca:
=\frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x})
-\ln^2(x))
-\ln^2(x)}2)
}x)
Inlocuind f si f’, obtinem:
Impartim cu 2:
Inegalitatea data devine:
Deoarece c apartine intervalului
, rezulta ca
. Logaritmul este o functie strict crescatoare, deci
. Din faptul ca
rezulta prima parte a inegalitatii de mai sus.
Tot din monotonia logaritmului avem ca
. Din
rezulta si a 2-a parte a inegalitatii.
Acum am observat, îmi cer scuze. Mulțumesc frumos pentru ex!
Cu placere! 🙂