pls help
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
1.Trebuie sa gasim numarul de moduri in care se pot aranja 5 elemente. Aceasta este chiar definitia permutarilor, deci avem
de moduri.
2.Multimea A:
numere.
variante. Considerand si cele 3 variante pentru prima cifra, avem 3*6=18 variante.
Orice numar reprezinta o permutare a multimii A. Avem deci
Multimea B:
Prima cifra a numarului nu poate fi 0. Ne raman deci 3 variante pentru aceasta. Dupa ce am ales prima cifra, raman 3 posibilitati pentru celelalte 3 cifre. Ca la multimea A, alegerea acestor ultime 3 cifre reprezinta o permutare, deci avem
3.a)3!+4!=6+24=30

!}=\frac{n!}{n!\cdot(n+1)(n+2)}=\frac1{(n+1)(n+2)})
!}=\frac{(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}=n(n-1))
!}{(2n-2)!}=\frac{(2n-2)!(2n-1)2n(2n+1)}{(2n-2)!}=2n(2n-1)(2n+1))
!}{(2k-2)!}=\frac{(2k-4)!}{(2k-4)!(2k-3)(2k-2)}=\frac1{(2k-3)(2k-2)})
!}{(2n+m+1)!}=\frac{(2n+m)!}{(2n+m)!\cdot(2n+m+1)}=\frac1{2n+m+1})
!}{(3-n)!}=\frac{(2-n)!}{(2-n)!(3-n)}=\frac1{3-n})
!}{(7-n)!}=\frac{(5-n)!}{(5-n)!(6-n)(7-n)}=\frac1{(6-n)(7-n)})
5!+3!=120+6=126
b)6!-5!=6*5!-5!=5*5!=5*120=600
10!-9!=10*9!-9!=9*9!
c)
d)
e)
f)
g)
4.a)


b)
c)}:\frac2{7!}=\frac{1+2+6}{7!\cdot8\cdot9(10!-8!)}\cdot\frac{7!}2=\frac{9}{8\cdot&space;9(10!-8!)}\cdot\frac12=\frac1{8(8!\cdot9\cdot10-8!)}\cdot\frac12=\frac1{16\cdot(8!\cdot90-8!)}=\frac1{16\cdot89\cdot8!})
}:\frac{10}{8\cdot8!}=\frac{1+2+6+24}{5!(9\cdot8!-8!)}\cdot\frac{8\cdot8!}{10}=\frac{33}{5!\cdot8\cdot8!}\cdot\frac{8\cdot8!}{10}=\frac{33}{5!\cdot10})
d)

5.Simplificam mai intai fiecare termen al multimii.


si
.
0!=1
2!-1!=2-1=1
Observam ca primele 2 elemente sunt de fapt egale. Multimea A devine:
Aceasta multime are 2 elemente, deci 2!=2 permutari, care sunt
6.a)Functia factorial este o functie strict crescatoare, deci ecuatia n!=24 are cel mult o solutie. Observam ca 4!=24, deci solutia ecuatiei este n=4.!}{(n+1)!}=7)
(n+1)!}{(n+1)!}=7)


!}{(2n+1)!}=20)
!(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)!}=20)
(2n+3)=20)
(2n+3)=20)
(2n+3)=10)


!}{(n-3)!}=\frac{30(n+1)!}{(n-1)!})
!}=\frac{30}{(n-1)!})
!}=\frac{30}{(n-3)!(n-2)(n-1)})
(n-1)})
(n-1)=30)

!}{(n+1)!}=56)
(n+1)=56)
b)
c)
Aceasta ecuatie are solutiile 1 si -7/2. A 2-a solutie nu convine deoarece factorialul este definit doar pe numere naturale.
d)
(n+1)! nu poate fi 0, deci putem imparti prin (n+1)!:
Inmultim cu (n-3)!:
Rezolvand aceasta ecuatie de gradul 2, obtinem solutia n=7.
e)
Rezolvand ecuatia de gradul 2, obtinem solutia n=6.
7.a)
!}{(x+8)!}\geq\frac1{16})
!}{(x+7)!\cdot(x+8)}\geq\frac1{16})



!}{(n-1)!}\leq72)
!\cdot&space;n\cdot&space;(n+1)}{(n-1)!}\leq72)
\leq72)
b)
n este numar natural nenul, deci strict pozitiv. Observam ca pentru n>0, partea stanga a inegalitatii este strict crescatoare. Observam deasemenea ca pt n=8, partea stanga iar fix valoarea 72. Rezulta ca solutiile cautate sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
8.
!=3(x-y-1)!&space;\\&space;(2x-y+1)!=8(2x-y)!&space;\end{cases})
!(x-y)=3(x-y-1)!&space;\\&space;(2x-y)!(2x-y+1)=8(2x-y)!&space;\end{cases})

=8-3)





Scadem prima ecuatie din a 2-a:
Inlocuim x=4 in prima ecuatie din sistem:
9.\cdot&space;n!=(n+1)n!-n!=(n+1)!-n!=P_{n+1}-P_{n})
a)=-\sum_{k=1}^{n}(P_k-P_{k+1})=-((P_1\cancel{-P_2})+(\cancel{P_2}\cancel{-P_3})+(\cancel{P_3}\cancel{-P_4})+...+(\cancel{P_n}-P_{n+1}))=-(P_1-P_{n+1})=P_{n+1}-P_1=(n+1)!-1!=(n+1)!-1)
b)^2=\sum_{k=1}^{n}&space;k!(k+1)\cdot(k+1)=\sum_{k=1}^{n}&space;(k+1)!(k+1)=\sum_{k=1}^{n}&space;(k+1)P_{k+1}=\sum_{k=1}^{n}(P_{k+2}-P_{k+1})=-\sum_{k=1}^{n}(P_{k+1}-P_{k+2})=-(P_2-P_3+P_3-P_4+...+P_{n+1}-P_{n+2})=-(P_2-P_{n+2})=P_{n+2}-P_2=(n+2)!-2!=(n+2)!-2)
10.!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac1{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac1{P_n}-\frac1{P_{n+1}})
a)!}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{P_{k+1}}=\sum_{k=1}^{n}(\frac1{P_k}-\frac1{P_{k+1}})=\frac1{P_1}-\frac1{P_2}+\frac1{P_2}-\frac1{P_3}+...+\frac1{P_n}-\frac1{P_{n+1}}=\frac1{P_1}-\frac1{P_{n+1}}=\frac1{1!}-\frac1{(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)!})
b)Din pacate editorul de ecuatii nu afiseaza corect(deloc) ecuatiile pentru aceasta problema. Voi incarca maine o poza cu rezolvarea.
11.a)!\cdot&space;k^2=\sum_{k=1}^n(k-1)!\cdot&space;k\cdot&space;k=\sum_{k=1}^nk!\cdot&space;k=\sum_{k=1}^nk!\cdot&space;(k+1-1)=\sum_{k=1}^nk!\cdot&space;(k+1)-\sum_{k=1}^nk!=\sum_{k=1}^n(k+1)!-\sum_{k=1}^n(k)!=-(\sum_{k=1}^n(k)!-\sum_{k=1}^n(k+1)!)=-(1!-2!+2!-3!+...+n!-(n+1)!)=-(1!-(n+1)!)=-1+(n+1)!=(n+1)!-1)
b)=\sum_{k=1}^nk!(k^2+2k+1-k)=\sum_{k=1}^nk!((k+1)^2-k)=\sum_{k=1}^nk!(k+1)^2-\sum_{k=1}^nk!k=\sum_{k=1}^n(k+1)!(k+1)-\sum_{k=1}^nkk!=-(\sum_{k=1}^nkk!-\sum_{k=1}^n(k+1)(k+1)!)=-(1\cdot1!-2\cdot2!+2\cdot2!-3\cdot3!+...+n\cdot&space;n!-(n+1)\cdot(n+1)!)=-(1\cdot1!-(n+1)(n+1)!)=-(1-(n+1)(n+1)!)=(n+1)(n+1)!-1)
c)!}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n(\frac1k-\frac1{k+1})=(\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+...+\frac1n-\frac1{n+1})=1-\frac1{n+1})
d)!}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^nk(k+1)=\sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2=\frac{n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1-3)}6=\frac{n(n+1)(2n-2)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1)}3)
Revenim la a 2-a suma de la exercitiul 10:
!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{k^2+2k+1-k}{(k+1)!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^2-k}{(k+1)!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^2}{(k+1)!k(k+1)}-\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{kk!}-\sum_{k=1}^n\frac1{(k+1)!(k+1)}=\frac1{1\cdot1!}-\frac1{2\cdot2!}+\frac1{2\cdot2!}-\frac1{3\cdot3!}+...+\frac1{n\cdot&space;n!}-\frac1{(n+1)(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)(n+1)!})
Aranjamente
.
1.Trebuie sa alegem 4 elemente dintr-o multime de 6, contand ordinea acestora. Numarul de moduri este deci
2.Trebuie sa alegem 3 elemente dintr-o multime de 5, contand ordinea acestora. Numarul de moduri in care putem face asta este
. Numerele de 3 cifre nu pot avea insa prima cifra 0. Daca consideram prima cifra egala cu 0, atunci pentru celelalte 2 cifre trebuie sa alegem 2 elemente dintr-o multime de 4(deoarece nu il mai putem folosi pe 0). Avem
moduri.
Scadem din totalul de 60 cele 12 numere invalide si obtinem 60-12=48 numere.
3.!}=\frac{6!}{2!}=\frac{720}2=360)
!}=1)
!}=\frac{3!}{2!}=3)
!}=\frac{3!}{1!}=\frac61=6)
!}=\frac{7!}{3!}=\frac{5040}{6}=840)
!}=\frac{7!}{4!}=\frac{5040}{24}=240)
Calculele ramase sunt adunari, scaderi etc. directe.
4.a)i.!}+\frac{8!}{(8-5)!}}{\frac{8!}{(8-4)!}}=\frac{\frac1{2!}+\frac1{3!}}{\frac1{4!}}=\frac{\frac12+\frac16}{\frac1{24}}=\frac{\frac36+\frac16}{\frac1{24}}=\frac{\frac46}{\frac1{24}}=\frac{\frac23}{\frac1{24}}=\frac23\cdot24=2\cdot8=16)
ii.!}}{\frac{4!}{(4-3)!}}=1+\frac{\frac{5!}{1!}}{\frac{4!}{1!}}=1+\frac{5!}{4!}=1+5=6)
iii.!}+\frac{6!}{(6-5)!}}{\frac{5!}{(5-4)!}}=\frac{\frac{7!}{3!}+\frac{6!}{1!}}{\frac{5!}{1!}}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+6!}{5!}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{6\cdot7+2\cdot3\cdot6}{2\cdot3}=6+7=13)
b)i.!}+\frac{6!}{(6-4)!}}{\frac{5!}{(5-3)!}}=\frac{\frac{7!}{4!}+\frac{6!}{2!}}{\frac{5!}{2!}}=\frac{5\cdot6\cdot7+\frac{6!}{2}}{\frac{5!}{2}}=\frac{2\cdot5\cdot6\cdot7+6!}{5!}=\frac{2\cdot5\cdot6\cdot7+2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{6\cdot7+3\cdot4\cdot6}{3\cdot4}=\frac{2\cdot7+4\cdot6}{4}=\frac{7+2\cdot6}{2}=\frac{19}2)
ii.!}+\frac{6!}{(6-5)!}}{\frac{6!}{(6-4)!}}=\frac{\frac{5!}{1!}+\frac{6!}{1!}}{\frac{6!}{2!}}=\frac{5!+6!}{\frac{6!}{2}}=\frac{2(5!+6!)}{6!}=\frac{2(1+6)}{6}=\frac{7}{3})
iii.!}+\frac{6!}{(6-5)!}}{\frac{5!}{(5-4)!}}=\frac{\frac{7!}{3!}+\frac{6!}{1!}}{\frac{5!}{1!}}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+6!}{5!}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{6\cdot7+2\cdot3\cdot6}{2\cdot3}=7+6=13)
c)i.)!}}{\frac{n!}{(n-(k+1))!}+\frac{n!}{(n-k)!}}=\frac{\frac1{(n-k+1)!}}{\frac1{(n-k-1)!}+\frac1{(n-k)!}}=\frac{\frac1{(n-k-1)!(n-k)(n-k+1)}}{\frac1{(n-k-1)!}+\frac1{(n-k-1)!(n-k)}}=\frac{\frac1{(n-k)(n-k+1)}}{1+\frac1{n-k}}=\frac{\frac1{n-k+1}}{n-k+1}=\frac1{(n-k+1)^2})
ii.A_{2n}^{k-3}}{A_{2n}^k+A_{2n}^{k-1}}=\frac{(2n-k+2)\frac{(2n)!}{(2n-(k-3))!}}{\frac{(2n)!}{(2n-k)!}+\frac{(2n)!}{(2n-(k-1)!)}}=\frac{(2n-k+2)\frac{(2n)!}{(2n-k+3)!}}{\frac{(2n)!}{(2n-k)!}+\frac{(2n)!}{(2n-k+1)!}}=\frac{(2n-k+2)\frac1{(2n-k+3)!}}{\frac1{(2n-k)!}+\frac1{(2n-k+1)!}}=\frac{(2n-k+2)\frac1{(2n-k)!(2n-k+1)(2n-k+2)(2n-k+3)}}{\frac1{(2n-k)!}+\frac1{(2n-k)!(2n-k+1)}}=\frac{\frac1{(2n-k+1)(2n-k+3)}}{1+\frac1{(2n-k+1)}}=\frac{\frac1{(2n-k+3)}}{2n-k+1+1}=\frac1{(2n-k+3)(2n-k+2)})
iii.!}-n\frac{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!}}{A_{n+1}^{k+1}}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!}-\frac{n!}{(n-1-k+1)!}}{A_{n+1}^{k+1}}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!}-\frac{n!}{(n-k)!}}{A_{n+1}^{k+1}}=\frac{0}{A_{n+1}^{k+1}}=0)
5.a))!}=\frac{n!}{(n-n+1)!}=\frac{n!}{1!}=\frac{n!}{1}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{(n-n)!}=A_n^n)
!}{(n+1-(k+1))!}=\frac{(n+1)n!}{(n+1-k-1)!}=(n+1)\frac{n!}{(n-k)!}=(n+1)A_n^k)
)!}=\frac{n!}{(n-k-1)!}=(n-k)\frac{n!}{(n-k-1)!(n-k)}=(n-k)\frac{n!}{(n-k)!}=(n-k)A_n^k)
b)
c)
6.a)i.
!}{(n-5-3)!}=24)
!}{(n-8)!}=24)
(n-6)(n-5)=24)
Pentru ca aranjamentul sa existe, este necesar ca n-5 sa fie mai mare decat 2, adica n sa fie mai mare decat 7. De aceea, fiecare dintre termenii din membrul stang sunt pozitivi si strict crescatori. Rezulta ca membrul stang este strict pozitiv, deci ecuatia are cel mult o solutie. Observam ca n=9 este solutia cautata.
ii.(x-3))
!}=30(x-2)(x-3))
(x-2)(x-1)x=30(x-2)(x-3))
=30)
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mare decat 3. Rezulta ca (x-2)(x-3) este diferit de 0, deci putem imparti prin el:
Cum x este mai mare decat 3, x(x-1) este strict pozitiv, deci avem cel mult o solutie. Observam ca x=6 este solutie.
b)i.
!}{(n+3-3)!}=30\frac{(n+1)!}{n!})
!}{n!}=30(n+1))
(n+2)(n+3)=30(n+1))
(n+3)=30)
Pentru ca aranjamentele sa existe trebuie ca n+3 sa fie mai mare decat 2, deci n mai mare decat -1. Rezulta ca n+1 diferit de 0, deci putem imparti prin el:
Deoarece n este mai mare decat -1, membrul stang este strict crescator, deci ecuatia are cel mult o solutie. Observam ca n=3 este solutia.
ii.!A_{x-2}^5=x!)
!}{(x-2-5)!}=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
!}{(x-7)!}=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
(x-5)=(x-1)x)
=x^2-x)



Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca x-2 sa fie mai mare decat 4, adica x mai mare decat 6. Rezulta ca (x-4)(x-3)(x-2) este diferit de 0, deci putem imparti prin el:
Impartim prin 5:
Ecuatia de mai sus are radacinile 4 si 9. Doar 9 convine.
c)i.

!}}{\frac{n!}{(n-8)!}}=132)
!}\cdot\frac{(n-8)!}{n!}=132)
!}{(n-10)!}=132)
(n-8)=132)
Pentru ca aranjamentele sa existe, n trebuie sa fie mai mare decat 9, deci membrul stang este strict crescator, ecuatia avand cel mult o solutie. Observam ca n=20 este solutia cautata.
ii.
!}{(n+4-3)!}=20\frac{(n+2)!}{(n+2-1)!})
!}{(n+1)!}=20\frac{(n+2)!}{(n+1)!})
!=20(n+2)!)
(n+4)=20)
Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca n+4 sa fie mai mare decat 2, adica n mai mare decat -2. Rezulta ca membrul stang este strict crescator, deci avem cel mult o solutie. n=1 este solutia cautata.
7.a)i.
!}{(2n-1-2)!}\leq930)
!}{(2n-3)!}\leq930)
(2n-1)\leq930)
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca 2n-1 sa fie mai mare decat 1, deci 2n-2 sa fie mai mare decat 0. De asemenea, daca 2n-1 este mai mare decat 1, atunci 2n este mai mare decat 2, deci n mai mare decat 1. Rezulta ca membrul stang al inegalitatii este strict crescator. Observam ca pentru n=16, obtinem 30*31=930, deci solutia inecuatiei este intervalul (1, 16].
ii.(x-3))
!}\leq30(x-2)(x-3))
(x-2)(x-1)x\leq30(x-2)(x-3))
x\leq30)
Pentur ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mare decat 3, deci (x-3)(x-2) este strict pozitiv, deci putem imparti prin el:
Deoarece x este mai mare decat 3, membrul stang este strict crescator. Observam ca pt x=6, membrul stang este egal cu 30, deci solutia inecuatiei este intervalul (3, 6].
b)i.
!}{(n+1-3)!}\leq90\cdot\frac{(n-1)!}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1-2)!})
!}{(n-2)!}\leq90\cdot\frac1{n}\cdot\frac{(n+1)!}{(n-1)!})
n(n+1)\leq90\cdot\frac1n\cdot&space;n(n+1))
n(n+1)\leq90(n+1))
n\leq90)
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca n+1 sa fie mai mare decat 2. Fiind strict pozitiv, impartim prin el:
Deoarece n+1 este mai mare decat 2, rezulta ca n este mai mare decat 1. Membrul stang este pozitiv si strict crescator. Observam ca pt n=10, membrul stang este egal cu 90. Solutia inecuatiei este deci intervalul (1, 10].
ii.!A_{x-2}^5\leq&space;x!)
!\frac{(x-2)!}{(x-2-5)!}\leq&space;x!)
!\frac{(x-2)!}{(x-7)!}\leq&space;x!)
!(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\leq&space;x!)
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\leq\frac{x!}{(x-5)!})
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\leq(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
(x-5)\leq(x-1)x)
\leq&space;x^2-x)



Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x-2 sa fie mare decat 4, deci x mai mare decat 6. Rezulta ca (x-4)(x-3)(x-2) este strict pozitiv. Impartim prin el.
Simplificam prin 5:
Radacinile polinomului din membrul stang sunt 4 si 9. Acesta este negativ pe intervalele (-inf, 4] si [9, +inf). Deoarece x trebuie sa fie mai mare decat 6, doar al doilea interval convine.
c)i.
!}\geq\frac{(n+2)!}{(n+2-4)!})
!}\geq\frac{(n+2)!}{(n-2)!})
!)
)
\leq182)
Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca n sa fie mai mare decat 1, deci membrul stang este strict crescator. Observam ca pentru n=13, membrul stang este egal cu 182, deci solutia inecuatiei este intervalul (1, 13].
ii.
!}\leq5\frac{10!}{(10-(x-1))!})
!}\leq\frac5{(10-x+1)!})


Inmultim cu numitorul membrului drept:
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mic sau egal cu 10, deci solutia este intervalul [6, 10].