Home/ Intrebari/Q 5088
Urmator
In Process
mary-
20
user (0)
Pe: 2021-02-13T13:40:45+02:00 In: In:

Fie un grup iar astfel încât . …

Fie (G, \cdot) un grup iar x, y\in G astfel încât xy=yx.
Demonstrați:

a) x^ny=yx^n, \forall n\in \mathbb{N}
b)x^ny^m=y^mx^n, \forall n,m \in \mathbb{N}

Din câte am observat s-ar aplica metoda inducție matematice.
Însă nu reușesc sa îmi dau seama cum trebuie procedat – mai ales la b)

Câteva idei? Vă mulțumesc!

Intrebari similare

4 raspunsuri

  1. Suport

    a)Cazul de baza al inductiei matematice va fi cazul n=1, adica xy=yx, ceea ce stim din enunt.
    Presupunem ca x^ny=yx^n. Inmultind cu x la stanga si folosind proprietatea din enunt, obtinem:
    x^{n+1}y=xyx^n=yxx^n=yx^{n+1}
    Din principiul inductiei matematice rezulta  ca x^ny=yx^n pentru orice n.
    b)Pentru orice n natural, stim de la punctul a) ca x^ny=yx^n, adica stim ca propozitia noastra este adevarata pentru m=1. Acesta este cazul de baza al inductiei. Presupunem ca x^ny^m=y^mx^n. Inmultind la dreapta cu y si folosind inca o data punctul a), avem:
    x^ny^{m+1}=y^mx^ny=y^myx^n=y^{m+1}x^n
    Din principiul inductiei matematice rezulta ca x^ny^m=y^mx^n pentru orice n si m naturale.

    La punctul b am facut inductie dupa m fixand n-ul. O alta varianta este sa demonstram ca daca propozitia are loc pentru m si n, are loc si pentru m+1, n, dar si pentru m, n+1.

    • 0
    • user (0)

      Pentru varianta a doua, considerand ca nu fixam n, ar presupun ca am avea propozitia:
      P(n,m): x^ny^m=y^mx^n (1)
      Si cum ar trebui sa demontrez ca are loc pentru m+1, n respectiv m, n+1?
      P(m+1, n):x^my^{m+1}=y^{m+1}x^n  si ar trebui sa inmultesc cu y la dreapta? Oare este bine? (analog pentru n+1 si m)

      • 0
  2. Suport

    Daca inmultesti cu y la dreapta in P(n, m), obtii x^ny^{m+1}=y^mx^ny.
    In membrul drept folosesti egalitatea de la punctul a, adica:
    x^ny^{m+1}=y^myx^n

    • 0
  3. user (0)

    Am înțeles! Mulțumesc mult!

    • 0
Raspunde

Raspunde