Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login

Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare
LoginInregistrare

Teme AniDeȘcoală.ro

Teme AniDeȘcoală.ro Logo Teme AniDeȘcoală.ro Logo

Teme AniDeȘcoală.ro Navigation

  • HOME
  • PUNCTE
  • FAQ
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • Home
  • Materii
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • Puncte si ranguri
  • FAQ
  • Contact
Home/ Intrebari/Q 3813
Urmator
Answered
mary-
30
mary-user (0)
Pe: 10 ianuarie 20212021-01-10T17:00:28+02:00 2021-01-10T17:00:28+02:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Determinați Im f: a) ,  b) , …

Determinați Im f:

a) f(x)=\frac{x}{1+|x|},  f:R\rightarrow R

b) f(x)=x^{\frac{1}{x}}, f:R->R

  • 0
  • 3
  • 35
  • 1
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Intrebari similare

  • Se consideră punctele Determinati ecuația universală care ...
  • Care este cel mai  mare numar de  ...
  • Sa se determine  o  formula  de   recurenta ...
  • Sa de determine restul impartirii polinomului f ...

3 raspunsuri

  1. Best Answer
    Menim Suport
    2021-01-11T00:09:12+02:00Pe 11 ianuarie 2021

    a)Observam ca daca functia ia valoarea a in punctul x(adica f(x)=a), atunci in punctul -x va lua valoarea f(-x)=\frac{-x}{1+|-x|}=-\frac{x}{1+|x|}=-f(x). Rezulta ca este suficient sa calculam imaginea lui f pe [0, inf).

    Pe [0, inf) functia are expresia f(x)=\frac{x}{1+x}. Observam ca f(x)<1.
    f este continua. In punctul 0 ia valoarea f(0)=\frac{0}{1+0}=0, iar la infinit are limita 1. Fiind continua, functia are proprietatea lui Darboux, deci ia toate valoarile dintre 0 si limita sa la infinit, adica ia valorile [0, 1). Este usor de observat ca f nu atinge valoarea 1.

    Din simetria ce am observat-o la inceputul rezolvarii rezulta ca imaginea cautata este (-1, 1).

    Rezolv si punctul b maine dimineata.

    • 1
    • Raspunde
    • M
      2021-01-11T18:42:30+02:00Pe 11 ianuarie 2021

      Mulțumesc! Oare ai putea sa ma ajuți și la b) am încercat ceva da nu-mi iese:/

      • 0
  2. Menim Suport
    2021-01-11T17:46:07+02:00Pe 11 ianuarie 2021
    Raspuns editat.

    b)Consideram functia ca fiind definita pe (0, \infty), deoarece in 0 functia nu exista(avem \frac10), iar pe numerele negative poate lua valori complexe. O rescriem astfel:
    f(x)=x^{\frac1x}=e^{\ln(x^\frac1x)}=e^{\frac{\ln x}{x}}

    Deoarece functia exponentiala este o functie continua si pozitiva, aflam imaginea functiei g(x)=\frac{\ln x}{x}. Pentru a face acest lucru, ii analizam derivata(fiind functie continua):
    g'(x)=\frac{(\ln x)'x-x'\ln(x)}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}

    Radacinile derivatei se obtin atunci cand 1-\ln(x)=0, adica \ln(x)=1, de unde x=e. Analizam semnul lui g’ la stanga si la dreapta lui e. g'(1)=\frac{1-\ln(1)}{1^2}=1>0 si g(e^2)=\frac{1-\ln(e^2)}{e^4}=\frac{1-2}{e^4}<0. Rezulta ca pe intervalul (0, e) functia este crescatoare si pe intervalul (e, \infty) este descrescatoare.

    \lim_{x \to 0^+}g(x)=\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln (x)}{x}=\lim_{x \to 0^+}\ln(x)\cdot \frac1x=-\infty\cdot\infty=-\infty
    f(e)=\frac{\ln(e)}{e}=\frac1e
    \lim_{x \to \infty}g(x)=\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}x=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac1x}{1}=0

    Functia ia deci pe intervalul (0, e] valorile (-\infty, \frac1e] si pe intervalul [e, \infty] valorile (0, \frac1e]. Reunind cele 2 intervale, obtinem ca imaginea functiei g este intervalul (-\infty, \frac1e].

    Deoarece exponentiala este o functie continua, imaginea functiei f(x)=e^{g(x)} este (\lim_{x \to -\infty} e^x, e^{\frac1e}]=(0, e^{\frac1e}].

    • 1
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Sidebar

PUNE O INTREBARE

PROVOCARI

  • Literele trebuiesc folosite doar o singură dată ...

  • Chiar dacă mă credeți sau nu, printre ...

  • Poți găsi diferențele?

  • Întrebarea aceasta are o.... problemă

  • Un număr controversat

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

ANIDESCOALA.ro

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori.
Participa si tu la dezvoltarea comunitatii: transmite sugestii, povesti, exercitii etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  •  Termeni si conditii
  • Contact

Statistici

  • Intrebari : 1.107
  • Raspunsuri : 1.579
  • Best Answers : 331

Proiecte

  • AniDeScoala.ro
  • Dictionar explicativ
  • Dictionar de sinonime
  • Dictionar de antonime
  • Gramatica limbii romane

Informatii trafic

trafic

Inserare/editare legătură

Introdu URL-ul destinației

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.