Determinați Im f:
a) ,
b) , f:R->R
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
a)Observam ca daca functia ia valoarea a in punctul x(adica f(x)=a), atunci in punctul -x va lua valoarea
. Rezulta ca este suficient sa calculam imaginea lui f pe [0, inf).
Pe [0, inf) functia are expresia
. Observam ca f(x)<1.
, iar la infinit are limita 1. Fiind continua, functia are proprietatea lui Darboux, deci ia toate valoarile dintre 0 si limita sa la infinit, adica ia valorile [0, 1). Este usor de observat ca f nu atinge valoarea 1.
f este continua. In punctul 0 ia valoarea
Din simetria ce am observat-o la inceputul rezolvarii rezulta ca imaginea cautata este (-1, 1).
Rezolv si punctul b maine dimineata.
Mulțumesc! Oare ai putea sa ma ajuți și la b) am încercat ceva da nu-mi iese:/
b)Consideram functia ca fiind definita pe
, deoarece in 0 functia nu exista(avem
), iar pe numerele negative poate lua valori complexe. O rescriem astfel:
=x^{\frac1x}=e^{\ln(x^\frac1x)}=e^{\frac{\ln&space;x}{x}})
Deoarece functia exponentiala este o functie continua si pozitiva, aflam imaginea functiei
. Pentru a face acest lucru, ii analizam derivata(fiind functie continua):
=\frac{(\ln&space;x)'x-x'\ln(x)}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot&space;x-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln&space;x}{x^2})
Radacinile derivatei se obtin atunci cand
, adica
, de unde
. Analizam semnul lui g’ la stanga si la dreapta lui e.
si
. Rezulta ca pe intervalul
functia este crescatoare si pe intervalul
este descrescatoare.
Functia ia deci pe intervalul
valorile
si pe intervalul
valorile
. Reunind cele 2 intervale, obtinem ca imaginea functiei g este intervalul
.
Deoarece exponentiala este o functie continua, imaginea functiei
este
.