Mulțumesc anticipat!
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Dam o ordine laturilor triunghiurilor, anume
.
Folosim inegalitatea lui Titu Andreescu(poti citi despre ea aici):
^2}{2(a^2+b^2+c^2)})
Mai departe, din egalitatea lui Chebysev(nu stiu daca asa se scrie):
=(a^2\cdot&space;a+b^2\cdot&space;b+c^2\cdot&space;c)\geq&space;(a^2+b^2+c^2)\cdot\frac{a+b+c}{3})
Ne intoarcem la ceea ce am obtinut prin Ineg Titu:
^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac{(\frac13\cdot(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2=\frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b+c))
Aplicam inegalitatea mediilor pentru primele 2 paranteze:
^{\frac13})
^{\frac13})
si
Cu aceste inegalitati avem:
(a+b+c)(a+b+c)\geq\frac1{18}\cdot3(a^2\cdot&space;b^2\cdot&space;c^2)^{\frac13}\cdot3(abc)^{\frac13}(a+b+c)=\frac12(a^3\cdot&space;b^3\cdot&space;c^3)^{\frac13}(a+b+c)=\frac12abc(a+b+c))
Am demonstrat deci ca:
)
Pentru a demonstra inegalitatea ceruta este suficient sa demonstram ca:
\geq8S^2)
Folosim acum formula lui Heron pentru arie:
(p-b)(p-c)})
(p-b)(p-c)})^2=8p(p-a)(p-b)(p-c)=8\frac{a+b+c}2(\frac{a+b+c}2-a)(\frac{a+b+c}2-b)(\frac{a+b+c}2-c)=\frac12(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c))
Pentru a demonstra aceasta inegalitate, consideram x, y si z pozitive. Din inegalitatea mediilor, avem:



Inmultim aceste inegalitati:
(y+z)(x+z))
In final, scriem inegalitatea de mai sus pentru
,
si
si vom obtine inegalitatea ce o aveam de demonstrat. Aceasta substitutie este valida deoarece toate valorile substitutie sunt pozitive din inegalitatea triunghiului(suma a oricaror 2 laturi este mai mica decat cea de-a 3-a latura).