Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login

Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare
LoginInregistrare

Teme AniDeȘcoală.ro

Teme AniDeȘcoală.ro Logo Teme AniDeȘcoală.ro Logo

Teme AniDeȘcoală.ro Navigation

  • HOME
  • PUNCTE
  • FAQ
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • Home
  • Materii
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • Puncte si ranguri
  • FAQ
  • Contact
Home/ Intrebari/Q 2169
Urmator
In Process
Stefan......
5
Stefan......user (0)
Pe: 25 august 20202020-08-25T22:23:40+03:00 2020-08-25T22:23:40+03:00In: MatematicaIn: Clasele V-VIII

Mulțumesc anticipat!

Mulțumesc anticipat!

  • 0
  • 0
  • 140
  • 1
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Intrebari similare

  • Se consideră punctele Determinati ecuația universală care ...
  • Care este cel mai  mare numar de  ...
  • Sa se determine  o  formula  de   recurenta ...
  • Sa de determine restul impartirii polinomului f ...

0 raspunsuri

  1. Menim Suport
    2020-08-26T19:25:17+03:00Pe 26 august 2020

    Dam o ordine laturilor triunghiurilor, anume 
    a\geq b\geq c.

    Folosim inegalitatea lui Titu Andreescu(poti citi despre ea aici):
    \frac{a^6}{b^2+c^2}+\frac{b^6}{a^2+c^2}+\frac{c^6}{a^2+c^2}\geq\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}

    Mai departe, din egalitatea lui Chebysev(nu stiu daca asa se scrie):
    (a^3+b^3+c^3)=(a^2\cdot a+b^2\cdot b+c^2\cdot c)\geq (a^2+b^2+c^2)\cdot\frac{a+b+c}{3}

    Ne intoarcem la ceea ce am obtinut prin Ineg Titu:
    \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac{(\frac13\cdot(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2=\frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b+c)

    Aplicam inegalitatea mediilor pentru primele 2 paranteze:
    a^2+b^2+c^2\geq3(a^2\cdot b^2\cdot c^2)^{\frac13}
    si
    a+b+c\geq3(abc)^{\frac13}

    Cu aceste inegalitati avem:
    \frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b+c)\geq\frac1{18}\cdot3(a^2\cdot b^2\cdot c^2)^{\frac13}\cdot3(abc)^{\frac13}(a+b+c)=\frac12(a^3\cdot b^3\cdot c^3)^{\frac13}(a+b+c)=\frac12abc(a+b+c)

    Am demonstrat deci ca:
    \frac{a^6}{b^2+c^2}+\frac{b^6}{a^2+c^2}+\frac{c^6}{a^2+b^2}\geq\frac12abc(a+b+c)

    Pentru a demonstra inegalitatea ceruta este suficient sa demonstram ca:
    \frac12abc(a+b+c)\geq8S^2

    Folosim acum formula lui Heron pentru arie:
    S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
    8S^2=8(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})^2=8p(p-a)(p-b)(p-c)=8\frac{a+b+c}2(\frac{a+b+c}2-a)(\frac{a+b+c}2-b)(\frac{a+b+c}2-c)=\frac12(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

    \frac12abc(a+b+c)\geq\frac12(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
    abc\geq(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

    Pentru a demonstra aceasta inegalitate, consideram x, y si z pozitive. Din inegalitatea mediilor, avem:
    2\sqrt{xy}\leq{x+y}
    2\sqrt{yz}\leq y+z
    2\sqrt{xz}\leq x+z

    Inmultim aceste inegalitati:
    8xyz\leq(x+y)(y+z)(x+z)

    In final, scriem inegalitatea de mai sus pentru x=\frac{a+b-c}2,  y=\frac{a+c-b}2si z=\frac{b+c-a}2 si vom obtine inegalitatea ce o aveam de demonstrat. Aceasta substitutie este valida deoarece toate valorile substitutie sunt pozitive din inegalitatea triunghiului(suma a oricaror 2 laturi este mai mica decat cea de-a 3-a latura).

    • 0
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Sidebar

PUNE O INTREBARE

PROVOCARI

  • Literele trebuiesc folosite doar o singură dată ...

  • Chiar dacă mă credeți sau nu, printre ...

  • Poți găsi diferențele?

  • Întrebarea aceasta are o.... problemă

  • Un număr controversat

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

ANIDESCOALA.ro

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori.
Participa si tu la dezvoltarea comunitatii: transmite sugestii, povesti, exercitii etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  •  Termeni si conditii
  • Contact

Statistici

  • Intrebari : 1.110
  • Raspunsuri : 1.580
  • Best Answers : 331

Proiecte

  • AniDeScoala.ro
  • Dictionar explicativ
  • Dictionar de sinonime
  • Dictionar de antonime
  • Gramatica limbii romane

Informatii trafic

trafic

Inserare/editare legătură

Introdu URL-ul destinației

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.