va rog frumos! Eu nu înțeleg de unde a luat baremul (la punctul a) propozitia: a=2^510 * 2/512. Am încercat sa il rezolv de mai multe ori si tot nu mi-a dat
Teme AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
va rog frumos! Eu nu înțeleg de unde a luat baremul (la punctul a) propozitia: a=2^510 * 2/512. Am încercat sa il rezolv de mai multe ori si tot nu mi-a dat
a)Numaratorii fractiilor ce formeaza produsul sunt de forma:=1+2+3+...+2n+(2n+1)-(2+4+...+2n)=\frac{(2n+1)(2n+2)}2-2(1+2+...+n)=(2n+1)(n+1)-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}=(2n+1)(n+1)-n(n+1)=(n+1)(2n+1-n)=(n+1)(n+1)=(n+1)^2)
Numitorii fractiilor sunt de forma:
=\frac{(n+1)(n+2)}2)
Atunci fractiile sunt de forma:
}{1+2+...+(n+1)}=\frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n+2)}2}=\frac{2(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2(n+1)}{(n+2)})
Observam ca produsul are 510 termeni(deoarece ultimul numar din numitori parcurge numerele de la 1 la 511):
}{1+2}\cdot\frac{2(2+1)}{(2+2)}\cdot...\cdot\frac{2(510+1)}{510+2}=2^{510}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{511}{512}=2^{510}\cdot\frac2{512}=2^{510}\cdot\frac2{2^9}=2^{510}\cdot\frac{1}{2^8}=2^{510-8}=2^{502}=2^{2\cdot251}=(2^{251})^2)
este numar natural.
Deoarece a este patrat perfect,
b)Presupunem ca
nu apartine lui 
. Rezulta ca 
apartine lui 
, ceea ce inseamna ca exista m si n numere naturale(nu intregi deoarece e usor de observat ca b este pozitiv), cu proprietatea ca m si n sunt prime intre ele, astfel incat:
\cdot&space;n^2)
este multiplu de 5, deci si 
este multiplu de 5 si deci si m este multiplu de 5. Dar deoarece 
este un patrat perfect, rezulta ca acesta este multiplu de 25. Atunci notam 
si avem:
\cdot&space;n^2)
, iar 
. Rezulta ca 
se divide cu 5, dar nu cu 25. Cum membrul stang se divide cu 25, rezulta ca 
se divide cu 5. Atunci si n se divide cu 5. Dar cum si m este multiplu de 5, rezulta ca m si n nu sunt prime intre ele, deci presupunerea facuta este falsa, si deci 
apartine 
.
Ridicand la patrat obtinem:
c)Incadram numarul b intre 2 patrate perfecte consecutive. Observam mai intai ca:
^2)
^2<10^{2006}-2005)
:
^2-2\cdot10^{1003}+1<10^{2006}-2005)
, clar adevarat.
Sa vedem acum daca este adevarat si ca
Am demonstrat deci ca:
^2<b<(10^{1003})^2)
este 
, deci primele 2 cifre ale lui 
sunt aceleasi cu ale lui 
, care sunt 99(daca nu intelegi acest lucru, gandeste-te la 
, 
…).
Atunci:
Rezulta ca partea intreaga a lui
Pentru punctul b) : de unde stii ca dacă m^2 = M5 inseamna ca si m=M5 si ca m^2 este M25????
Pentru punctul c) : 10^2006 – 2005 = 100…..00000 – 2005 = 9999….97995. Cred ca e mai simplu asa.
b)Daca m^2 este M5, atunci m^2=5k. Dar deoarece m^2 este patrat perfect, si 5k trb sa fie patrat perfect. Fiecare factor prim apare de un numar par de ori in scrierea unui patrat perfect. Dar 5 apare doar o data, deci trebuie sa mai apara cel putin o data in scrierea lui k, adica si k este M5, adica m^2=5*5p=25p.
Daca m^2=25p, atunci deoarece m^2 este patrat perfect si 25 este patrat perfrct, este necesar ca p sa fie patrat perfect, adica p=l^2. Atunci m^2=25l^2=(5l)^2, adica m=5l, deci m este 5M.
c)Se cer primele 2 cifre ale lui
, nu ale lui b.
Si nu putem extrage radacina patrata pentru primele 2,3 cifre???
Probabil ca poti, dar mi se pare mai clar incadrandu-l intre 2 numere cum am facut eu.