Problema 2 va rog!
Teme AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
a)Consideram resturile pe ccare le obtinem la impartirea lui x la 4. Avem un total de 4 resturi, si 25 de numere. Daca niciun rest nu se repeta de 7 ori, atunci am avea cel mult 6*4=24 numere. Dar noi avem 25 de numere, deci cel putin un rest se repeta de 7 ori.
Luam cele 7 numere care dau acelasi rest la impartirea cu 4 a lui x. Oricum am alege 4 numere, produsul lor va da o putere a 4-a pentru
. Trebuie sa ne asiguram acum ca acest lucru se intampla si pentru y, adica trebuie sa ne asiguram ca din 7 numere de forma 
putem alege 4 care au produsul puterea a 4-a a unui numar natural. Acest lucru este echivalent cu a demonstra ca exista 4 numere intr-o multime de 7 a caror suma este multiplu de 4.
Vom folosi faptul ca intr-o multime de 3 numere exista 2 cu suma para. Intr-adevar, deoarece exista 2 resturi posibile la impartirea cu 2 si 3 numere, din principiul cutiei stim ca 2 resturi se repeta, iar suma numerelor cu resturile egale va fi para.
Alegem 3 numere la intamplare din cele 7. 2 dintre ele au suma para. Le dam la o parte si le consideram o grupa. Ramanem cu 5 numere. Repetam procedeul pana cand ajungem sa avem 3 grupe de cate 2 numere cu suma para si un numar in plus pe care il ignoram. Sumele celor 3 grupe fiind pare, le putem nota cu 2k, 2l si 2m. Consideram acum numerele k, l si m. Deoarece exista 2 resturi la impartirea cu 2, si 3 numere, principiul cutiei ne spune ca 2 dintre numerele k,l si m au aceeasi paritate. Sa zicem ca aceste numere sunt k si l. Atunci k+l este par, iar 2k+2l=2(k+l) va fi un multiplu de 4. 2k+2l este insa de fapt suma a 2 grupe de cate 2 numere, adica suma a 4 numere, exact ce se cerea.
Faptul ca exista 4 numere cu suma multiplu de 4 in orice multime de 7 se poate generaliza, existand n numere cu suma multiplu de n in orice multime de 2n-1 numere.
b)Consideram resturile obtinute la impartirea cu 2 a lui x si y. Avem 2 resturi posibile pt x si 2 pt y, deci in total 4 variante pentru perechile (x, y). Dar deoarece alegem 5 numere, principiul cutiei ne spune ca vor exista 2 numere pt care x si y vor avea, respectiv, aceeasi paritate. Atunci produsul acestor 2 numere va da un numar cu x si y par, adica un patrat perfect.
De unde ai luat 6*4=24, la început? Scuze ca te întreb, dar la olimpiada trebuie să gandesti mult inainte, iar eu inca nu m-am obisnuit.
x poate avea 4 resturi la impartirea cu 4. Dar noi avem 25=4*6+1 numere, deci daca nu s-ar repeta niciun rest de 7 ori, am avea cel mult 4*6 resturi(adica am avea cel mult fiecare rest de 6 ori).