Ma puteti ajuta ?
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
a)
,
…,
) din membrul drept se afla si in membrul stang, cu acelasi semn. Scadem aceste numere. Ramanem cu:

=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)

si
:

=0)
=0)



Observam ca fractiile cu numitorul impar(
A 2-a parte a membrului stang contine numerele din membrul drept. Scadem tot membrul drept:
Simplificam acum fractiile din paranteza:
Numerele cu numitori impari din paranteza se mai afla o data in suma, cu semnul plus. Ii putem elimina:
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semnul minus(acelasi pe care l-ar avea daca am desface paranteza):
Simplificam termenii din paranteza:
Termenii cu numitorul impar din paranteza se mai afla o data in suma cu semnul plus. Ii putem deci elimina:
Termenii din paranteza se afla in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Termenii cu numitor impar din paranteza se mai afla in suma cu semnul plus, deci ii eliminam:
Termenii din paranteza se mai afla in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Din nou, termenii din paranteza cu numitor impar se simplifica:
Termenii din paranteza se mai afla in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Termenii cu numitor impar din paranteza se simplifica:
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Termenii din paranteza cu numitorul impar se simplifica:
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semn minus:
Simplificam paranteza:
Termenii cu numitor impar in paranteza se simplifica:
Termenii din paranteza se repeta cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Suma mai are foarte putini termeni, asa ca ii putem scrie pe toti:
Simplificam
Am ajuns la o expresie adevarata, deci egalitatea de la care am pornit este adevarata. O sa ma gandesc maine daca exista o solutie fara atat de multe calcule.
Si punctul b daca vrei.
b)Observam ca suma din membrul drept al punctului b seamana cu suma din membrul stang de la a). Ne punem intrebarea daca putem sa gasim o relatie asemanatoare celei de la punctul a) pentru suma de la punctul b). Raspunsul este ca da, anume:

Demonstratia este aceeasi ca cea de la punctul a). O vei scrie fara prea multe explicatii.
Mulțumesc mult!
Cu placere. Am scris si a 2-a parte a rezolvarii putin mai jos.
Am demonstrat mai sus ca membrul drept este egal cu:

Observam ca 668+1335=2003. In acest caz, grupam termenii sirului astfel:
+(\frac1{669}+\frac1{1334})+(\frac1{670}+\frac1{1333})+...)
Fiecare paranteza are forma:
, cu k natural. Deoarece suma are 1335-667=668, care este un numar par, deci toate numerele pot fi grupate. Cum toate perechile sunt de 2 termeni si avem in total 668 de numere, inseamna ca vom avea 668:2=334 de perechi, deci ultima pereche va fi
, deoarece am inceput de la k=0.
Sa analizam „termenul general”:
(1335-k)}=\frac{1335+668}{(668+k)(1335-k)}=\frac{2003}{(668+k)(1335-k)})
Suma devine:
)
. Atunci avem:
, deci
, cu k natural, dexi m este multiplu de 2003.
Paranteza este o suma de termeni rationali, deci este rationala. Rezulta ca exista p si q naturale, cu (p, q)=1 astfel incat suma este egala cu: