Va rog frumos sa o rezolvati.
Teme AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
a)Restul impartirii la 3 al unui numar este acelasi cu restul impartirii la 3 al cifrelor sale. Restul impartirii la 3 al unui numar ramane acelasi chiar daca schimbam ordinea cifrelor.
Impartim numarul in grupe de cate 3 numere, astfel:
(123), (456), (789), (101112)…
Observam ca suma cifrelor fiecarei grupe este divizibila cu 3.
Numarul nostru este format din numerele de la 1 la 2013, in total 2013 numere. 2013 este un multiplu de 3(deoarece suma cifrelor sale, 2+0+1+3=6, este multiplu de 3). Rezulta ca putem imparti tot numarul in grupe de cate 3 numere. Cum sumele cifrelor acestor grupe sunt divizibile cu 3, rezulta ca suma cifrelor numarului este divizibila cu 3, deci numarul este multiplu de 3, adica da restul 0 la impartirea cu 3.
Deoarece numarul se divide cu 3, pentru a fi patrat perfect, trebuie sa se divida si cu 9. Demonstram ca acest lucru nu este posibil.
Impartim numarul in grupe de cate 9 numere, astfel:
(123456789), (101112131415161718)…
Observam ca sumele cifrelor acestor grupe sunt multipli de 9.
Avem 2013 numere in total. Restul impartirii lui 2013 la 9 este 6(acelasi cu restul impartirii sumei cifrelor lui 2013 la 9). Rezulta ca cel mai mare numar, mai mic decat 2013, care este multiplu de 9 este 2013-6=2007. Deci toate numerele de la 1 la 2007 pot fi impartite in grupe de cate 9, fiecare grupa avand suma cifrelor multiplu de 9. Atunci restul impartirii numarului la 9 este dat de celelalte numere ce formeaza numarul, anume:
200820092010201120122013. Suma cifrelor acestui numar este 2+8+2+9+2+1+2+1+1+2+1+2+2+1+3=39, care da restul 3 la impartirea cu 9. Rezulta ca restul dat de numar la impartirea cu 9 este tot 3, deci numarul nu este divizibil cu 9, deci nu poate fi patrat perfect.
b)Cautam cel mai mare numar, mai mic decat n, care se divide cu 45. Pentru ca un numar sa se divida cu 45, acesta trebuie sa se divida cu 5 si cu 9. Am stabilit la punctul a) ca numarul n da restul 3 la impartirea cu 9, deci este de tipul 9k+3.
Un numar se divide cu 5 daca ultima cifra a sa este 0 sau 5. Analizam numerele mai mici decat numarul n, care au ultima cifra egala cu 0 sau 5. Primul asemenea numar se obtine scazand 1 din n(transformand astfel ultima cifra din 1 in 0). Numarul n este de forma 9k+3, deci n-1 este de forma 9k+2. Rezulta ca n-1 se divide cu 5, dar nu cu 9.
Urmatorul numar ce il analizam este n-6(cu 5 mai mic decat n-1). Deoarece n este de forma 9k+3, n-6 este de forma 9k+3-6=9k-3, deci nu se divide cu 9.
Continuam cu n-11. n-11 este de forma 9k+3-11=9k-8, deci nu se divide cu 9.
n-16 este de forma 9k+3-16=9k-13, deci nu se divide cu 9.
n-21 este de forma 9k+3-21=9k-18=9(k-2), deci n-21 se divide si cu 5, si cu 9, deci se divide cu 45. Rezulta ca numarul n-21 este de forma 45p, deci n este de forma 45p+21, deci da restul 21 la impartirea cu 45.