Buna ziua, Ajutati-ma, va rog cu rezolvarea exercitiului. Multumesc!
Un sir de numere naturale are termenii asezati in ordine crescatoare sub forma unui triunghi ca mai jos:
1
4 7 10
13 16 19 22 25
28 31 34 37 40 43 46
49 52 55 58 61 64 67 70 73
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
- Cu ce numar incepe linia 71 ?
- Sa se determine numarul situat in mijlocul liniei 71 ?
- Sa se determine linia pe care se gaseste numarul 2020.
Se observă că fiecare termen al șirului se obține adunând 3 la termenul anterior.
primul termen: 1
al doilea termen: 1+3=4
al treilea termen:1+3+3=1+2*3=1+6=7
al patrulea termen:1+3+3+3=1+3*3=1+9=10
și așa mai departe…
al n-lea termen: 1+(n-1)*3
De asemenea, se mai observă că fiecare rând al triunghiului are cu două numere în plus față de cel dinainte
primul rând: 1 termen
al doilea rând: 1+2= 3 termeni
al treilea rând: 1+2+2=1+2*2=5 termeni
al patrulea rând: 1+2+2+2=1+3*2=7 termeni
și așa mai departe…
al n-lea rând: 1+(n-1)*2 termeni
Cu ce numar incepe linia 71 ?
Eu zic să vedem mai întâi câte elemente se găsesc pe rândurile anterioare.
Pe rândul 70 avem (conform formulei găsite: al n-lea rând: 1+(n-1)*2 termeni): 1+69*2 termeni, adică 1+138=139. Atunci, numărul tuturor termenilor anteriori, de pe toate rândurile anterioare este: n=1+3+5+…+139
Rezolvăm cu Gauss: n=1+3+5+…+139
n=139+137+…+1
adunăm cele două relații termen cu termen și obținem
2n=140+140+…+140
140 se repetă de (139-1):2+1=70 (ultimul termen-primul termen) împărțit la pas (merge din doi în doi) + 1. Știam deja că e 70, dar… așa se calculează.
deci: 2n=140*70
2n=9800
n=9800/2
deci n=4900
Deci primul termen de pe rândul 71 este termenul al 4901-lea și, conform primei formule găsite
al n-lea termen = 1+(n-1)*3
al 4901-lea termen = 1 + 4900*3=14701
am obosit :). mai revin.
2. Să se determine numarul situat in mijlocul liniei 71 ?
am văzut că pe rândul 70 sunt 139 de termeni.
atunci, pe rândul 71 vor fi 139+2=141 termeni.
termenul de la mijloc va fi în poziția 140:2+1=71.
în șirul general, știind că pe primele 70 de rânduri avem 4900 de termeni, atunci, elementul căutat va fi al 4900+71, deci al 4971-lea.
cu prima formulă avem:
al 4971-lea termen=1+4970*3=14911.
mai iau o pauză…
3. Sa se determine linia pe care se gaseste numarul 2020.
din prima formulă: al n-lea termen: 1+(n-1)*3, putem afla al câtelea termen este numărul 2020.
1+(n-1)*3=2020
(n-1)*3=2020-1
(n-1)*3=2019
n-1=2019:3
n-1=673
n=673+1
n=674
deci e al 674-lea element
acum trebuie să aflăm pe ce rând se află.
am văzut deja că numărul tuturor termenilor anteriori, de pe toate rândurile anterioare este: s=1+3+5+…+n
de aici nu mai merge cu materie de clasele I-IV (de parcă până acum a mers…)
am găsit pe net formula 1+3+5+…+2n-1=n2
deci trebuie să găsim între ce pătrate perfecte se găseşte 674.
păi 252 = 625, iar 262=676.
deci, pe primele 25 de rânduri se găsesc 625 de termeni, iar ultimul termen de pe rândul 26 este al 676-lea. Atunci, al 674-lea se găseşte pe rândul 26.
Doamne-ajută!
Multumesc!!
cu plăcere. scz că n-am zis de ieri.