Bună seara! Vă rog să mă ajutați cu acest exercițiu: Sa se arate că: 1+ 1/2!+1/3!+…+1/n!<5n-2/2n; oricare ar fi n>=1. Știu că se folosește inducția matematică.
Teme AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Bună seara! Vă rog să mă ajutați cu acest exercițiu: Sa se arate că: 1+ 1/2!+1/3!+…+1/n!<5n-2/2n; oricare ar fi n>=1. Știu că se folosește inducția matematică.
Menim
Pasul 1, verificam pentru n=1:
, care este adevarata.
Pasul 2, inductia. Presupun ca propozitia este adevarata pentru n si demonstram ca este adevarata si pentru n+1:
!})
obtinem:
!}<5n-\frac1n+\frac1{(n+1)!})
.
Faptul ca propozitia este adevarata pentru n ne spune ca:
Adunand
Este suficient sa demonstram ca:
!}<5(n+1)-\frac1{n+1})
!}<5-\frac1{n+1})
!}+\frac1{n+1}<5+\frac1n)
Observam ca ambii termeni din membrul stang sunt mai mici decat 1, deci suma lor este cel mult 2. Dar suma din dreapta este mai mare decat 5, deci inegalitatea este adevarata.
Pasul 3, concluzia:Din Principiul Inductiei Matematice rezulta ca inegalitatea are loc pentru orice n natural.